Elementi in parallelo: resistenze

In un circuito elettrico non è raro trovare elementi in parallelo. Due o più elementi si definiscono in parallelo quando sottoposti alla stessa differenza di potenziale (d.d.p.). In un circuito elettrico possono essere in parallelo sia elementi attivi (e.g. generatori di tensione) sia elementi passivi.

Calcolo resistenza equivalente

In questo contesto verranno trattati elementi passivi in parallelo e di preciso delle resistenze.

Si considerino più resistori in parallelo, 5 per semplicità nella figura di lato (un click per ingrandirla), ma il numero non lede la generalità della discussione e relativa dimostrazione riportata in basso. Della figura in questione gli interessati potranno trovare lo snippet in TeX-LaTeX al seguente indirizzo.

L’obiettivo in questa sede è dimostrare la formula per resistori in parallelo e riportarne il caso particolare – tipicamente il più utilizzato – per due sole resistenze in parallelo.

Con riferimento alla figura, applicando la prima Legge di Kirchhoff al nodo A, risulta:

I=I_1+I_2+I_3+I_4+I_5\kern{1cm}(1)

Ora dalla 1^a Legge di Ohm su ogni singolo resistore è possibile scrivere:

I_1=\frac{V}{R_1}; I_2=\frac{V}{R_2}; I_3=\frac{V}{R_3}; I_4=\frac{V}{R_4}; I_5=\frac{V}{R_5}\kern{1cm}(2)

Sostituendo le (2) nella (1) risulta:

I=\frac{V}{R_1}+\frac{V}{R_2}+\frac{V}{R_3}+\frac{V}{R_4}+\frac{V}{R_5}

nella quale mettendo in evidenza la tensione V risulta:

I=V\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_4}+\frac{1}{R_5}\right)\kern{1cm}(3)

Ponendo:

\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_4}+\frac{1}{R_5}

allora dalla (3) è evidente come la corrente assorbita dal gruppo di resistenze sia pari a:

I=\frac{V}{R_{eq}}

ovvero:

R_{eq}=\frac{V}{I}\kern{1cm}(4)

Ma dalla (3) si ricava:

\frac{V}{I}=\frac{1}{(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_4}+\frac{1}{R_5})}

che sostituita nella (4) porta alla formula finale:

R_{eq}=\frac{1}{(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R4}+\frac{1}{R_5})}\kern{1cm}(5)

ovvero alla forma generale:

R_{eq}=\frac{1}{(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\dots+\frac{1}{R_{n-1}}+\frac{1}{R_n})}\kern{1cm}(5)

Caso particolare: due resistenze in parallelo

Nel caso di due soli resistori la (5) può essere riscritta come:

R_{eq}=\frac{1}{(\frac{1}{R1}+\frac{1}{R2})}

Il minimo comune multiplo a denominatore porta a:

R_{eq}=\frac{1}{(\frac{R_2 + R_1}{R_1*R_2})}

ovvero:

R_{eq}=\frac{R_1 * R_2}{R_1 + R_2}

Un esempio

Con riferimento alla figura di apertura si può notare come sulla breadboard virtuale siano state collegate 5 resistenze in parallelo di valore, rispettivamente da sinistra verso destra, 220\Omega, 150\Omega, 680\Omega, 470\Omega e 330\Omega.

Applicando la formula (5) è possibile conoscerne il valore equivalente R_{eq} ai capi dei fili giallo e blu:

R_{eq}=\frac{1}{(\frac{1}{220}+\frac{1}{150}+\frac{1}{680}+\frac{1}{470}+\frac{1}{330})}\approx 56\Omega